微分積分（数学Ⅲ分野）

オリスタ基本問題の解説にも、微分積分(数学Ⅲ)の基本事項がかなり詳しくまとめてありますので、 そちらのほうもご覧ください。

極限

無限大の話 (2017.4.23)	数学Ⅲの微積の特徴は「無限大∞」を扱うことになります。これは数学Ⅱの微積にはなかったことです。 本格的に「無限大∞」を論ずればそれこそ哲学の領域になるので、あくまでも「こんな感じ」 という直感的なイメージで十分です。通常の感覚とは異なることも多いので、具体例を通して 理解を深めてほしいものです。
数列の収束と発散 (2017.4.23)	数列{an}において、nをどんどん大きくしていくとどのようになるのかを考えます。 とにかく具体例による考察が重要で、nをどんどん大きくしていったときのanの様子は いくつかのパターンに分類されることがわかります。イメージを膨らませてください。無限の 彼方に何が広がっているのかを。
極限値の四則演算 (2017.4.23)	2つの数列{an}と{bn}が共に収束するときに限り、 極限値の四則演算が可能になります。逆に言えば、収束しない場合は 四則演算は絶対にできません。このことをうっかり忘れてしまって、安易に計算すると 大変なことになります。答えは合っているのに0点、となりかねないので注意しましょう。
数列の極限値計算 (2017.4.30)	「無限大の話」でも紹介したように、極限値の計算にはヤバイ形があります。 そのヤバさをいかにして解消するのかがポイントとなります。具体的には次の4パターン。 ①∞－∞ ②∞/∞ ③ルートがらみ ④ハサミウチの原理の利用 この4つは数列の極限だけでなく、関数の極限でもそのまま使える手法なので、しっかりと マスターしよう。
rnの極限値 (2017.5.3)	rnの極限値はrの値によって細かく分類されます。丸暗記するのではなく、 具体例とともにしっかりと理解しましょう。
漸化式の極限 (2017.5.14)	漸化式で表された数列の極限を求めるには、その漸化式が「解ける」か「解けない」かで、 方法が大きく異なります。「解ける」場合は、一般項anがnの式で表されるので、 特に問題はありません。しかし、「解けない」場合にどう対応するのか。 このプリントでは、代表的な問題を通して、その手法を紹介します。
無限級数 (2017.5.18)	そもそも「無限に足す」とはどういうことを言うのでしょうか。 実は教科書には「無限に足す」という表記は一切ありません。つまり、 「無限に足す」ことは不可能なことなのです。 そこで新たなルールを作ります。このルールに基づいて無限級数の和を考えます。
無限級数の不思議 (2017.5.10)	数を無限に足していくとどうなるのでしょうか。本来ならば、そもそも「無限に足す」とは どういうことなのか、その定義からスタートすべきですが、今回はあんまり気にせず、 実際にパソコンで数値計算して出てきた結果を鑑賞してみましょう。 無限の不思議さ、数学の深遠さを感じる結果だと思います。
関数の極限(その①) (2017.6.23)	関数の極限についての有名問題を紹介します。大したことないんですが、まあまあ重要です。 特に、関数の極限値の問題の中には、双曲線の漸近線と関わりのあるものが少なくないので、 その部分を少し意識するだけで十分です。
関数の極限(その②) (2017.6.23)	関数の極限についての有名問題を紹介します。大したことないんですが、まあまあ重要です。 特に、関数の極限値の問題の中には、双曲線の漸近線と関わりのあるものが少なくないので、 その部分を少し意識するだけで十分です。
関数の極限の重要問題 (2020.7.24)	関数の極限についての有名問題を紹介します。大したことないんですが、まあまあ重要です。 特に、関数の極限値の問題の中には、双曲線の漸近線と関わりのあるものが少なくないので、 その部分を少し意識するだけで十分です。
関数の連続性 (2017.7.30)	「関数の連続性」を苦手とする人が多いようです。ほとんどの人が「ムズイ」「意味が分からん」 と言うのですが、よくよく聞いてみると、具体的なイメージをせずに定義や公式を 振り回していることが多いようです。 この分野は兎にも角にも具体例です。具体例を通して意味をしっかり理解しよう。なお、大学入試で 連続性に関する問題はほとんど出題されませんので安心してください。

微分法

微分のココロ2022版(2022.6.27)	「微分のココロ」を20222年版に改訂しました。 微分法の公式の基礎事項を総まとめしました。
微分のココロ2020版(2020.9.9)	「微分のココロ」を2020年版に改訂しました。 微分法の公式の基礎事項を総まとめしました。
微分の本質(2014.7.3) 微分の本質(2014.7.3)	微分法の本質を総まとめしました。
関数の微分可能性 (2015.3.4) PDF1 PDF2	「関数の微分可能性」も苦手とする人が多いようです。ほとんどの人が「ムズイ」「意味が分からん」 と言うのですが、よくよく聞いてみると、具体的なイメージをせずに定義や公式を 振り回していることが多いようです。 この分野は兎にも角にも具体例です。具体例を通して意味をしっかり理解しよう。なお、大学入試で 微分可能性に関する問題はほとんど出題されませんので安心してください。
三角関数編(2015.2.10) 指数・対数関数編(2015.2.10)	問題集にはたくさんの関数を微分させる問題が掲載されています。 確かに微分の計算力をつけるという意味においては、数をこなす必要もありますが、 現実問題としてそこまでややこしいマニアックな関数は登場しません。 ここで紹介している関数(三角関数編&指数対数関数編)の問題ができれば十分だと思います。 逆にいれば、この問題に登場する関数は完璧に微分できねばなりません。 これらの関数の微分が全問完璧にできた人だけ先に進んでよいでしょう。
接線の話 (2015.4.19) PDF1 PDF2 PDF3	接線に関する問題は、数学Ⅱにおいても数学Ⅲにおいても頻出分野ですが、扱う関数が異なるだけで、 基本的な考え方や手法は全く同じです。数学Ⅲ独自の内容としては、関数が媒介変数表示されている場合と 陰関数表示されている場合だけです。
グラフの増減と極値 (2015.4.26) PDF1 PDF2 PDF3	グラフの増減と極値の関係は、数学Ⅱですでに学習しました。数学Ⅲでは扱う関数が 多種多様になっているだけで、基本的には数学Ⅱの内容そのままです。 「関数が極値をもつ」とはどういうことなのか、をしっかりと理解しよう。
AKG40 ～関数のｶﾀﾛｸﾞ～ (2015.5.3)	問題集の「増減を調べよ」とか「極値を求めよ」とか「最大値，最小値を求めよ」という問題では， グラフをきっちり書くことが重要で，グラフさえ書けば 増減や極値，最大値，最小値も「見れば分かるでしょ」で終わる話です。 このプリントでは，様々なグラフ40個をシルエットでお楽しみいただきます．いわゆる『AKG40～関数のカタログ～』． メモリや極値，漸近線など全く記載されていませんので，自分で微分して増減表を書いて，必要な値を図に書き込んでください。 (地理の白地図みたいなもんですね)．きっちり取り組めば，とてもチカラがつくと思いますよ。 本来は，微分して増減表を書いてから，その増減表に基づいてグラフを書くのが大原則ですが， 僕は勉強の初期段階においては(慣れるまでは)、最初にグラフの概形を眺めてから， 実際に計算して確認する勉強方法もアリだと考えています．なかなか最初から，こんなグラフは書けないですよね． それにしても，なんでこんな形になるのか，不思議ではありませんか？ 君はこれらのグラフを見て，「難しそう」と感じますか？　それとも「面白そう」と感じますか？ 「へ～っ，すごいなあ．なんでこんな形になるんかなあ」「なんかようわからんけど，おもろい形しとるなあ」 と感動する気持ちが大切だと思います． ただただ驚きながら眺めるだけでも楽しいではありませんか．目で見て楽しみましょうね． (注)AKG40とは「あっと驚く関数のグラフ(Attoodoroku-Kansuuno-Graph)40個」の略． 某アイドルグループとは一切関係ございませんし、ご当地アイドルでもございません。
ヤバい極限値(2015.4.27)	極限値の計算の中で，単なる式変形ではどうにもならないヤバい極限値があります。 結論を言うと、ハサミウチの原理を用いて計算するのですが、そのためにはまず不等式を 作って挟み込む必要があります。ノーヒントで出題されることはほとんどありませんが、 結果は暗記しておいたほうがよいでしょう。
ヤバいグラフ(2015.4.27)	グラフを描くときには、x→∞　などの極限値を調べねばなりません。今回紹介するグラフはいずれも 先ほどの「ヤバイ極限値」を用います。
漸近線のヒミツ(2015.5.4)	漸近線は大きく分けて、x軸やy軸に平行なものと平行でないものの2種類に分けることができます。 軸に平行な漸近線は何となく雰囲気でわかりますが、軸に平行でない漸近線は一般的にそう簡単には 分からないものです。このプリントでは正しい漸近線の求め方を解説しますが、実際問題として 大学入試において、軸に平行でない漸近線をノーヒントで求めさせることはほとんどありません。
漸近線を求める(2015.5.3)	2つの曲線の漸近線を「正しい漸近線の求め方」に従って求めてみよう。見れば分かりますが、 かなりメンドウな計算を強いられることになります。たまりませんね。 なお、次のプリント（双曲線の漸近線）でアッと驚く方法で、この問題を解決したいと思います。
双曲線の漸近線 (2015.5.3)	数学Ⅲの「2次曲線」のところで双曲線に漸近線が存在することを学習しましたが、 なぜ、双曲線の漸近線がそのようになるのかについては曖昧なままで終わっていました。 そこで、「正しい漸近線の求め方」に従って、双曲線の漸近線を正確に求めてみよう。 なお、実に興味深いことに、この双曲線の漸近線が 一般的な曲線の漸近線捜索の1つの道しるべになっています。
グラフの書き方(2015.4.23)	グラフの書き方についての注意点を総まとめしました。
数学Ⅲは役に立つのか (2015.5.3)	数学Ⅱの問題を、数学Ⅱの方法と数学Ⅲの方法とで解き比べてみました。この2通りの 解法を見て「数学Ⅲは役に立つのか」という問いに自分なりに答えを出してみてください。
平均値の定理 (2015.5.4)	「f'(x)>0のときf(x)は増加し、f'(x)<0のときf(x)は減少する」ということを 数学Ⅱの微分で学習しました。特に違和感なく理解できたと思いますが、数学Ⅲでは、このことを 平均値の定理を用いて証明します。だから、教科書には「関数の増減」の前に「平均値の定理」の 章がきているのです。 しかし、その「平均値の定理」はどのよう証明するのかというと、高校生のレベルで厳密に証明する ことは不可能で、結局「直感的にわかるやろ」ですませることになります。 関数の増減については大半の生徒は直感的に理解できます。 この直感的に分かることを、直感的な証明しかできない 「平均値の定理」で証明するのはいかがなものかと思います。 本来、「平均値の定理」は関数の増減を証明するためのものではありません。このプリントでは 「平均値の定理」の代表的な使い方を3つ紹介します。

積分法

微分積分の応用