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 漸化式について

漸化式によって定まる数列の一般項を求めることを「漸化式を解く」といいます。 言うまでもなく,数列の一般項を求めるとは,第n項anをnの式で表すことです。
漸化式には基本的な型と決まった解き方があります。 これから,この基本形と解法パターンを順番に紹介していきますが、 全部でどのくらいあるのかというと,ざっと思いつくだけで16種類(!!)もあるのです.

その全パターンの解き方をまとめたのが

漸化式ハンドブック(ver3.2)

です。「解き方」だけを紹介しています。「なぜ、そう解くのか」という疑問には、 以下の犬プリで詳しく紹介してあるので、興味ある人はお読みください。 「とりあえず、解ければいいや」という人は、この漸化式ハンドブックだけで十分でしょう。
また、最近の入試問題では「漸化式を解け」という問題はほとんど出題されません。 最近は「漸化式を使って考える」や「自分で漸化式を作れ」という問題が主流です。 なので、今回の改訂(ver.3)では、自分で漸化式を作る問題を充実させました。 自分で漸化式を作る問題は「自分で作る」ことがメインなので、漸化式自体はとてもシンプルです。 ですから、これからは、マニアックな漸化式の解法をたくさん憶えるのではなく、 解法はシンプルな漸化式だけで憶え、 意味をしっかり考えて自分で漸化式を作りだす学習に重点を置いた方が良いでしょう。

  
注意!!!
漸化式ハンドブック作成を機に、Typeの番号、重要度(★の数)を見直しました。
★の数は「多い方が難しいそうな感じがする」という指摘があったので、逆にしました。ややこしくてすみません。(2017年2月25日改訂)

漸化式の基本16パターンのまとめ

       ★     → 漸化式の根底をなす最重要基本パターン
       ★★    → 絶対にマスターすべき最重要パターン
       ★★★   → 理系は(おそらく)ノーヒント、文系は(おそらく)誘導付きで出題される重要パターン
       ★★★★  → 文系理系とも(おそらく)誘導付きで出題される重要パターン
an+1=pan+q 型 p=1のときan+1=an+q (→等差数列型)Type①
q=0のときan+1=pan (→等比数列型)Type②
p≠1、q≠0のときan+1=pan+qType③
an+1=pan+f(n) 型 p=1のときan+1=an+f(n) (→階差数列型)Type④
p≠1のとき f(n)が指数関数の場合Type⑤★★
f(n)が整関数の場合Type⑥★★★
$a_{n+1}=\dfrac{p a_n+q}{r a_n+s}$型 q=0のとき $a_{n+1}=\dfrac{p a_n}{r a_n+s}$Type⑦ ★★
q≠0のとき$a_{n+1}=\dfrac{p a_n+q}{r a_n+s}$Type⑧ ★★★★
三項間漸化式
an+2+pan+1+qan=0 型
特性方程式 t2+pt+q=0 が異なる2つの解をもつ Type⑨ ★★★
特性方程式 t2+pt+q=0 が重解をもつ Type⑩ ★★★
連立漸化式
an+1=pan+qbn
bn+1=ran+sbn
p=s,q=rのとき Type⑪ ★★★
p≠s,q≠rのとき Type⑫ ★★★
変則マニアック型 係数にnなどを含むタイプ Type⑬ ★★★★
累乗型 an+1=p anq Type⑭ ★★★★
Snを含んだ漸化式 Type⑮ ★★
「解けない」漸化式の解き方 Type⑯ ★★★

1つ星(★)→Type①、Type②、Type③、Type④

Type①、Type②、Type④の漸化式は、「等差数列」「等比数列」「階差数列」の性質を ただ単に漸化式で表現しただけなので、 本質的には、「等差数列」「等比数列」「階差数列」の公式を利用するだけです。 式にビビらずに意味をしっかり考えて完璧に理解すること。
たいていの漸化式は、このType①~③のいずれかに必ず変形できます。

2つ星(★★)→Type⑤、Type⑦、Type⑮

最重要タイプ.ここまでは完璧に理解することが最低ラインの絶対条件です.

3つ星(★★★)→Type⑥、Type⑨、Type⑩、Type⑪、Type⑫、Type⑯

これらのタイプは、誘導が付いたり付かなかったりしますが典型的なパターン問題なので しっかり理解しておこう。

4つ星(★★★★)→Type⑧、Type⑬、Type⑭

今のところスルーでも構わないと思います。

1つ星(★)~3つ星(★★★)をしっかりと理解しておけば, 4つ星(★★★★)は誘導に従えば,解けるようになっています. とはいうものの,解法の仕組み背景などは一度は知っておいたほうが良いと思います
なお、私が高校生のころは全部ノーヒントで出題されたので、必死で勉強しました。今となっては そんな苦労話はウソみたいですね、ずいぶん簡単になったものです。

       ★     → 漸化式の根底をなす最重要基本パターン
       ★★    → 絶対にマスターすべき最重要パターン
       ★★★   → 理系は(おそらく)ノーヒント、文系は(おそらく)誘導付きで出題される重要パターン
       ★★★★  → 文系理系とも(おそらく)誘導付きで出題される重要パターン
漸化式の基礎
(2014.6.22)
 まず始めに、「そもそも『漸化式』とは何なのか?」という話をします。 僕は『漸化式』とは数列のDNAみたいなもんやと思っています。 つまり、数列の特徴を決定づける遺伝子みたいなもので、 漸化式を見ればその数列の全てがわかるというわけです。数列から漸化式が作られるのではなく、 漸化式から数列が生み出される、という発想をもつことが大切です。
Type①
an+1=an+q (→等差数列型)
type②
an+1=pan (→等比数列型)
PDF
漸化式の根底をなす基本型。これらTypeは漸化式を見れば、数列の特徴(等差数列なのか等比数列なのか)が すぐに分かるので、「漸化式を解く」=「一般項を求める」=「一般項の公式に当てはめる」 という作業になります。
重要度は★
Type③
an+1=pan+q
PDF1
PDF2
PDF3
絶対にマスターすべき漸化式の基本型。全ての漸化式は最終的にこのTypeに帰着するといっても 過言ではありません。「このTypeになればもう大丈夫」と言えるようになってほしいものです。 かなり詳しく解説してあるので、じっくり読んでください。
重要度は★
Type④
an+1=an+f(n)
(→階差数列型)
PDF
絶対にマスターすべき漸化式の基本型。「漸化式」というよりも単なる階差数列です。
重要度は★
Type⑤
an+1=pan+f(n)
→f(n)が指数関数
PDF
an+1=pan+f(n)型の漸化式は入試で本当によく出題されます。 「またかよ」と思えるようになってほしいです。
くれぐれも、Type③(an+1=pan+q型)と間違わないようにしてください。
重要度は★★
Type⑥
an+1=pan+f(n)
→f(n)が整関数
PDF1
PDF2
PDF3
an+1=pan+f(n)型漸化式でf(n)が整関数の場合も入試頻出。 でも、たいてい誘導があるので安心してください。
重要度は★★★
Type⑦
$a_{n+1}=\dfrac{p a_n}{r a_n+s}$
PDF
分母がpanだけの分数型漸化式も頻出。誘導がある場合が多いですが、ノーヒントで 解けるようにしておきたいところ。
重要度は★★
Type⑧
$a_{n+1}=\dfrac{p a_n+q}{r a_n+s}$
PDF1
PDF2
PDF3
一般的な分数型漸化式。必ず誘導がありますが、その誘導にうまく乗っかる必要があって、 そのためにはある程度の背景は知っておいたほうが良いでしょう。かなり詳しく解説しました。
重要度は★★★★
三項間漸化式
an+2+pan+1+qan=0
PDF1
PDF2
特性方程式 t2+pt+q=0 が異なる2つの解をもつ →Type⑨
特性方程式 t2+pt+q=0 が重解をもつ →Type⑩
重要度はType⑨が★★★、Type⑩が★★★
連立漸化式
an+1=pan+qbn
bn+1=ran+sbn
PDF1
PDF2
p=s,q=rのとき Type⑪
p≠s,q≠rのときType⑫
重要度はType⑪が★★★、Type⑫が★★★
連立漸化式のヒミツ
(2015.1.2)
連立漸化式の2つの解き方(加減法的解法と代入法解法)の背景を解説します。 別に知らなくてもどうってことありません。
変則マニアック型
PDF1
PDF2
累乗型 an+1=p anq →Type⑭
係数にnなどを含むタイプ →Type⑬
解法がかなり特徴的な漸化式。これはこれでやり方を憶えるしかありません。 たいてい誘導がありますが、Type⑬は最近ノーヒントでよく見かけます。
重要度はType⑬が★★★★、Type⑭が★★★★
Type⑮
Snを含んだ漸化式
PDF1
PDF2
犬プリ「和から一般項を求める」と同じ
重要度は★★
ハノイの塔
(2017.1.27)
『ハノイの塔』とは古くから伝わる有名なゲームで、漸化式の意味を理解するための教材として 授業で紹介しています。
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